哲学与科学，在古代几乎不分，在现代渐行渐远。
近一百多年来，科学迅猛发展，特别是物理学中相对论和量子力学的建立带来的革命，给予现代科学以人们的哲学观极大的冲击。尽管科学中不乏各种哲学观点，但大多数科学家对哲学持一种“傲慢态度”。不过，爱因斯坦就十分重视哲学对科学的作用，1944年他在写给朋友的信中说：“科学的方法论、科学史和科学的哲学思维都是极具意义和教育价值的。”
爱因斯坦对待物理理论，包括牛顿理论和他自己建立的两个相对论，持理性的批判态度。也正是这种哲学思维以及爱因斯坦的物理成就，影响了一位科学哲学家——卡尔·波普尔。
卡尔·波普尔
少年时代的波普尔见识了物理学中的革命，却有诸多疑问存留于心：以牛顿力学和电磁理论构成的经典物理大厦，原本看起来基础牢固、宏伟壮观，怎么突然就被爱因斯坦的相对论动摇了呢？爱丁顿的日全食实验为什么能验证广义相对论？科学理论是什么？应该如何来检验它？科学和非科学的分界线到底在哪里？
经过一段时间思考，波普尔提出“可证伪性”的观念，作为评判“是否科学”的简单标准。
何谓证伪？
波普尔的所谓“证伪”，是相对于“证实”而言。
证实这个词汇倒是经常被科学家使用，“牛顿第二定律被大量实验证实”“吸烟导致癌症被动物实验证实”“美国宇航局证实火星上存在水”……
相对于一个命题（简单地说，命题就是一个结论）而言，被证实的意思就是这个命题被证明为“真”。如果证明这个命题为“假”的话，就叫作被“证伪”了。
解释“证伪” 的例子有很多，比如说，命题“所有的天鹅都是白色的”，看见白色天鹅的人便证实了这个结论，如果有人发现一只不是白色的天鹅，这个命题就被证伪。
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为什么科学界一般常提证实，不常谈证伪呢？
因为科学发展的过程中往往会提出某个假说。假说不是凭空产生出来的臆想，而是根据已有的一些实验事实和现有的理论而提出来的“最佳模型”。
我们常说“实践是检验真理的唯一标准”，假说需要被实验验证，也就是证实。可以说，提出假说的目的就是期望被证实而成为离真理越来越近的科学理论。如果假说一旦被证伪，那就说明这个假说是错误的，应该摒弃。
证实或证伪均是针对一个命题（或陈述）而言，逻辑学中的命题可以分为不同类别，如果按照包含元素的范围来分类，有全称命题和单称命题。
前者包含的事实（元素）是无限的；对时间空间是普适的。后者所包含的事实（元素）是有限的，是特指的，是在特定的“时、空范围”及“层次范围”内发生的。例如：“所有乌鸦都是黑色的”“所有的金属都导电”是全称命题；“这只乌鸦是灰色的”是单称命题。
归纳逻辑和演绎逻辑
归纳逻辑：从特殊到一般，从具体事实到抽象“概念”。试图由单称命题为真，推论到全称命题也为真。
通俗地说，是指以一系列经验事物为依据，寻找出规律，并假设同类事物中的其他事物也服从这些规律。
经验科学的基本方法，就是反复运用“观察 → 归纳 → 证实”的方法，或称为“实证机制”。
演绎逻辑：从一般到特殊的必然性逻辑推理。从抽象概念到具体“事实”。由全称命题推论到单称命题。演绎适用于数学、逻辑等抽象科学，是一种“试错机制”。通过“问题→猜想→反驳”的循环过程来“证实或证伪”。
人类的认识活动，总是先接触个别事物，而后再推及一般。有了一般规律后，又可以从一般推及个别，如此归纳和演绎往复循环，使认识不断深化，进一步形成理论。
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卡尔·波普尔的哲学
科学假说提出后，能被一步一步证实，那就慢慢等待证实好了，波普尔又为什么要绞尽脑汁地想出一个“可证伪”的判断标准呢？
当年的波普尔在研究物理学中的若干命题时发现，“证实”和“证伪”并不是对称的，看看那个“所有的天鹅都是白色的”例子：要证实这个结论，需要将全世界的“天鹅”都考察一遍。而要证伪就简单多了，只需要抓住一只不是白色的天鹅就可以了。
“证实”和“证伪”的不对称是来源于命题的分类性质。比如天鹅例子是个“全称命题”，它陈述的对象是“所有的”天鹅，这样就造成了：证实需要考察无穷多的天鹅，而证伪只需找出一个反例即可。
考虑有关天鹅的另一个命题“存在不是白色的天鹅”。这个命题要被证实就比较简单：找到一只非白色的天鹅就行了，要证伪则比较困难，理论上有可能需要考察无数多的天鹅。与原来命题不同的是，这不是一个全称命题，而是一个存在命题，因而证实与证伪的角色也就有所不同了。
波普尔所说的“理论不能被证实，但能被证伪。”是指“全称命题”，而“单称命题”是既可被证实，又可被证伪！
关键问题是，波普尔认为科学假说大多数是全称命题，因为科学的目的就是要探索自然界的规律。比如说，牛顿的“万有引力”定律，指的是“任何两个质量之间”都存在吸引力，并且遵循同样的公式，而不是仅仅在地球和月亮之间才有这么个力。
因此，波普尔认为，可以用“可证伪性”来分界科学和非科学。而过去人们采取的使用归纳法来证实和判定科学结论是不可靠的。然而，人类的认识活动总是从归纳个别现象开始，然后得到一般规律。
由此而有了科学家们经常使用的“证实原则”，即认为一个命题的意义在于它能被经验所检验。
科学理论追求普适性，多数为全称命题，因此波普尔认为，可证实性是不现实的，个别经验不可能推广到无穷，过去的有限实证也不可能无限地推广到未来。因此，科学和非科学应该用证伪的原则来分界，因为个别的事例无论有多少，也证实不了一个全称判断，而“一个反例可以反驳一条定律”。
在波普尔看来，科学不是什么“真理”，而只是一种不断被证实，也有可能被证伪的猜测和假说。可证伪，是所谓科学猜想与非科学陈述的根本区别。
面对一个具体的科学问题，科学家首先提出某种猜测和试探性理论。如果去解决或解释它，需要根据猜测或试探性理论演绎推导出可以检验的假设，假设检验的目的不是去证实理论，而是看理论能不能被否定、反驳或证伪。
如果从理论推出的假设与经验证据不符，说明理论被证伪，再提出另一个试探性理论，重新检验。如果假设与经验证据相符，不能说理论已被证实，只能说理论被“确认”(corroborated)，可以暂时接受，但是随时准备接受新一轮经验事实的否定。科学理论永远处在这样一个不断试错、证伪的过程中，没有一种理论可以一劳永逸地被证实。这就是波普尔可证伪性原则指出的科学研究、科学发现和科学进步的途径。
波普尔认为，一个理论的科学地位，不是靠经验证实或具有可证实性，而是依赖其可证伪性、可反驳性、可检验性而确立的。波普尔在指出科学发现的逻辑的同时，也提出了一个新的科学分界标准。
波普尔最喜爱的正面例子，是爱丁顿观察日食的实验对广义相对论的检验。根据相对论原理，光线受引力影响，当光线通过强引力场附近时会发生弯曲。这与牛顿体系和日常生活中观察到的经验不符，而且超出一般人的想象。但是爱丁顿在日全食时对太阳附近恒星的观察，确认了光线穿过强引力场会发生弯曲的预言。广义相对论经受了严格的证伪检验，被接受为科学理论。不能被证伪的理论则不是科学。
“可证伪”和“被证伪”
波普尔提出的“可证伪”，是指一个科学理论要有被否定的可能性。科学理论是人们从自然得到的知识的积累和升华，是人性的，因而是可错的。一个理论系统只有作出可能与观察相冲突的论断才可以看作是科学的。
必须注意某些词语用法上的区别。波普尔科学哲学观中的界限是“可证伪”，不同于“被证伪”。
如果一个科学假说被证伪了，就需要重新考察这个理论，被修改或被摒弃，并不一定意味着旧理论的全面崩塌。
波普尔认为科学中的假说多为全称命题，可以被证伪，逻辑上说，只要观测到一个反例就可否定它。比如说狭义相对论是可证伪的，因为它建立在光速不变的假设的基础上，只要能确定地测量到真空中光速不是那个数值，便被证伪了。
波普尔将“可证伪”作为科学或非科学的分界线，实际上应该将目前的自然科学与其他科学分开来。然而，“科学”未必就高尚，非科学也绝不意味着不重要。并且，每一门学科都在不停地发展和变化中，每一门学科都有可能走上“科学”之路。
不可证伪的例子有哪些呢？
数学不能证伪。
认识论所涉及的证实、证伪是针对人类认识周围物质世界的过程，而数学是逻辑自洽，自成体系的，不需要“周围物质世界”来证明它的真实与否。也就是说，数学建立在无须证实的公理的基础上，因而也无法证伪，在这个意义上，数学不是科学。
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有一种命题是不可证伪的，比如说，命题“明天可能下雨可能不下雨”，它把所有可能性都包括了，这种命题永远正确，当然不能被证伪。
没有清楚地量化的命题也可能无法被证伪。有人观察犹太人，得出一个结论“犹太人鼻子大”。这个命题既无法被证实，也不能被证伪，因为它对“大”没有明确的量化标准，鼻子多大才算大呢，无法证实或证伪。
此外，有关某物存在的命题难以证伪。比如说“地外生命存在”“磁单极子存在”，这一类的命题，不能证伪，但可以证实。
刚才所举天鹅的例子：“存在不是白色的天鹅”，即使你观察到了几十万只白天鹅，你也不能说非白的天鹅就不存在，因为宇宙无法穷尽，便总有非白天鹅存在的可能性。
同样的道理，“上帝存在”的命题也不可证伪，无限的宇宙、无限的时间范围，你怎么知道上帝不存在呢？总有存在的可能性。这个例子与天鹅例子还有不同之处，非白天鹅的存在是可以被“证实”的，因为“天鹅”有一个明确的定义。而“上帝存在”之命题，既不可证伪，也不可证实，因为“上帝”并无明确的定义。
证实仍然需要
虽然波普尔强调应该用“可证伪”来界定科学与非科学，但也并不否认证实的重要性。证实和证伪是对立统一的两面，一个理论被证实的次数越多，它被证伪的概率就越来越小。因此，“证伪”并不能取代 “证实”。
此外，证伪主义本身也存在很多问题。对全称命题来说，证伪主义在逻辑上更为合理，但现实不等于逻辑，实际上，证伪的证据是在当时的技术条件下，由观察和试验提供的，具有个别性。证伪的实验可能有错，这种情况在历史上也屡见不鲜，并且推动了科学的不断发展。
那么，你怎么就知道是原有的理论错了而不是这个具体的实验错了呢？该摒弃的到底是理论还是这一个别实验呢？这似乎又需要更多的实验观测数据的支持了！
如此下去，不也一样的没完没了吗？总之，世界是复杂的，科学是复杂的，一句“可证伪性”，可以为科学判断提供参考，但我们在具体应用时，不要把它当成教条。
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波普尔考虑“证实”“证伪”，最开始是针对现代科学的逻辑实证主义，或称为科学经验主义。那是在 20 世纪 20 年代后期，奥地利一群哲学家、科学家和数学家组成的维也纳学派发展出来的。他们企图发展形式逻辑，建立对经验科学方法的更深刻认识。
然而，从感官经验知识得来的知识，逻辑实证主义不能给出一个满意的描绘，也使得准确表述实证原则变得很困难。这使科学哲学家们逐渐对逻辑实证主义产生质疑。波普尔认为逻辑实证主义死了，遭受了谋杀。谋杀者包括波普尔自己，他使用的武器就是“证伪理论”。
但这个武器并不如他所想象的那么锐利。因为实际上的科学命题并不一定是全称命题，任何理论都有一定的适用范围和局限性，即使是将自然规律写成了看起来能无限延伸的全称命题形式，也并非真正全称的。
事实上，单一的可证实性和可证伪性只能作为特例来看待。一般而言，科学理论，既不能通过某个或某些基本命题得到证实，也不能被它们所证伪。
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来源：原点阅读
原标题：为什么说数学“并不是科学”？
编辑：Quantum Bard
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